\begin{esercizio}
Studiare la convergenza puntuale su $\R$ della serie \[\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(x^n-1)x}{e^n}.\]
Dire poi, motivando la risposta, su quali intervalli la serie converge totalmente.
\end{esercizio}
\paragraph{Soluzione}{
\[\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(x^n-1)x}{e^n}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n+1}}{e^n}-\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x}{e^n}\]
La prima serie di potenze ha coefficiente $a_n=\frac{1}{e^{n-1}}$. \[\lim_n\sqrt[n]{\frac{1}{e^{n-1}}}=\lim_n\sqrt[n]{\frac{e}{e^n}}=\frac{1}{e}\]
Il raggio di convergenza è $\varrho=e$. Per $x=e$ diviene la serie numerica definita dalla successione costante di costante valore $e$ quindi diverge positivamente. Per $x=-e$ diviene $\sum_{n=0}^{+\infty}{(-1)^{n+1}}$ quindi è indeterminata.
}
La seconda serie di potenze 
\[\forall x\in\R\colon\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x}{e^n}=x\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{e^n}\in\R\]
Dunque la serie di partenza converge puntualmente sull'intervallo $(-e,e)$.

Essa converge totalemente in ogni intervallo del tipo $[-a,a]$ con $0\leq a<e$ dato che $\forall n\in\N$
\[\abs{\frac{(x^n-1)x}{e^n}}\leq\frac{\abs{x}^{n+1}}{e^n}+\frac{\abs{x}}{e^n}\leq\frac{a^{n+1}}{e^n}+\frac{a}{e^n},\forall x\in[-a,a]\]
\[\sum_{n=0}^{+\infty}{\left(\frac{a^{n+1}}{e^n}+\frac{a}{e^n}\right)}=a\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{a}{e}\right)^n+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{e^n}\right)\]
La prima serie converge in quanto serie geometrica di ragione $\frac{a}{e}\in(-1,1)$ moltiplicata per $a$; la seconda converge come si può vedere subito usando, ad esempio, il criterio della radice.
\begin{esercizio}
Enunciare e dimostrare almeno un teorema per il calcolo del raggio di convergenza di una serie di potenze.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Determinare e rappresentare sul piano l'immagine dell'insieme
\[A=\{z\in\C\colon:\Re z\in[-1,1],\Im z\in[0,\pi]\}\]
mediante la funzione esponenziale in $\C$.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}\label{esercizio:2013071104}
Determinare la funzione armonica coniugata di $u(x,y)=2x+y-2$ che sui punti della retta di
equazione $y=x/2$ sia uguale a 1.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}\label{esercizio:2013071105}
Dare la definizione di residuo all'infinito per una funzione $f\in\holomorph{\C\setminus K}$, con $K$ sottoinsieme limitato di $\C$. Dimostrare, poi, che \[\Res(f,\infty)=\Res(-\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right),0).\]
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Usando il metodo dei residui, calcolare
\[\intd{-\infty}{+\infty}{\frac{\cos(3x)}{x^2+x+1}}{x}\]
\end{esercizio}

Per gli anni accademici precedenti al 2012/2013, si sostituiscano gli esercizi \ref{esercizio:2013071104} e \ref{esercizio:2013071105} con i seguenti:
\begin{esercizio}
Calcolare come serie il seguente integrale
\[\intd{0}{1}{\cos(x^3)}{x}\]
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Dare la definizione di residuo in un punto $z_0\in\C$ per una funzione $f\in\holomorph{\disk[']{z_0,\delta}},\delta>0$.
Dimostrare, poi che per un polo di ordine 1,
\[\Res(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z).\]
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Studiare la convergenza puntuale su $\R$ della successione di funzioni	
\[f_n(x)=\frac{n x}{n^2x^+1}-1 .\]
Stabilire inoltre se la convergenza è uniforme su $\R$ e, in caso contrario, su un qualunque insieme del tipo $(-\infty,-a]\cup [a,+\infty),\,a>0$.
\end{esercizio}
\paragraph{Soluzione}
$\forall n\in\N$\;$f_n(0)=-1$
Per $\bar{x}\in\R\setminus\{0\}$ $f_n(\bar{x})\to-1$ per cui la funzione costante di costante valore $-1$ è la funzione limite puntuale della successione $\{f_n\}_{n\in\N}$ su $\R$. 

Studiamo la convergenza uniforme su $\R$.
\[ \abs{f_n(x)-(-1)} = \frac{\abs{n x}}{n^2x^2+1}\]

Consideriamo, per $n$ fissato in $\N$, la funzione 
\[ g_n(x)=\frac{n x}{n^2n^2+1},\,x\in\R\]

Tale funzione è dispari, per cui possiamo limitarci a studiarla sull'intervallo $[0,+\infty)$
\[ g_n^{'}(x)=\frac{n^3x^2+n-2n^3x^2}{(n^2n^2+1)^2}\]

Per cui $g_n^{'}(x)>0$ in $[0,+\infty)$ se e solo se $0\leq x<\frac{1}{n}$ 

Dunque le funzioni $\abs{f_n(x)+1}$ assumono massimo assoluto su $\R$ nei punti $x_n^1=\frac{1}{n}$ e $x_n^2=-\frac{1}{n}$ 

Chiaramente $\abs{f_n(\frac{1}{n})+1}=\abs{f_n(-\frac{1}{n})+1}=\frac{1}{2}$
e quindi la convergenza non è uniforme su $\R$.
Su un insieme $A$ del tipo $(-\infty,-a]\cup[a,+\infty),\,a>0$
\[\max_{x\in A}\abs{f_n(x)+1}=\abs{f_n(a)+1}=\frac{n a}{n^2a^2+1}\]
Poiché $\frac{n a}{n^2a^2+1} \overset{n\to\infty}{=}0$, la convergenza è uniforme su $A$.

\begin{esercizio}
Sia $z_0\in\C$ e si consideri la serie di potenze \[ \sum_{n=0}^{+\infty}{a_n(z-z_0)^n}\] Dimostrare che se essa converge in $\bar{z}\in\C$ allora converge in modulo per ogni $z\in\C$ con $\abs{z-z_0}<\abs{\bar{z}-z_0}$.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Calcolare l'integrale \[\int_{\gamma}{\frac{e^{z^2}}{(z^2-1)(z-\imath)}\diff{z}}\]
dove $\gamma$ è l'ellisse avente asse maggiore di estremi i punti $0$ e $2\imath$ e asse minore di lunghezza $1$ percorso in senso orario. Dire, inoltre, motivando la risposta, se il risultato cambia considerando
un ellisse con stesso asse maggiore, stesso orientamento, asse minore di lunghezza $a>0$.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Sia $\alpha\in\R$. Dare la definizione di selezione $\alpha$ del logaritmo. Determinare poi e rappresentare sul
piano il sottoinsieme dei punti $z\in\C$ per cui $\Log_0(z) = \Log_\pi(z)$.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Enunciare e dimostrare il II teorema dei residui.
Vedi Teo.\ref{teo:residui2}.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Scrivere la serie di soli coseni della funzione $f(x) = (x-1)^2$, $x\in[0,1]$. Stabilire poi che \[\sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{(-1)^k}{k^2}}=-\frac{\pi^1}{12}\]
\end{esercizio}
Per l'anno accademico 2009/2010, si sostituisca l'esercizio precedente con il seguente:
\begin{esercizio}
Scrivere la serie di Fourier della $f(x) = (x-1)^2$, $x\in[-1, 1]$ e se ne discuta la convergenza puntuale e uniforme.
\end{esercizio} 
